Messunsicherheiten bei Fahrbahnversuchen

Messunsicherheiten bei Fahrbahnversuchen
Aufbau der Fahrbahn mit fallender Masse
Kurzbeschreibung
Anhand der Fahrbahnversuche kann am 2. Newtonschen Axiom der Umgang mit der Variablenkontrolle und mit Messunsicherheiten gefestigt werden
Kategorien
Mechanik
Einordnung in den Lehrplan
Geeignet für:	Sek. II
Basiskonzept:	Wechselwirkung
Sonstiges
Durchführungsform	Demoexperiment, Schülergruppenexperiment
Anzahl Experimente in dieser Unterkategorie	2
Anspruch des Aufbaus	leicht - mittel
Informationen
Name:	Christian Dictus
Kontakt:	${\text{christian.dictus}}$@${\text{cms.hu-berlin.de}}$
Uni:	Humboldt-Universität zu Berlin
Betreuer*in:	Franz Boczianowski

Die dargestellten Fahrbahnversuche basieren auf dem 2. Newtonschen Axiom (dem Kraftgesetz), welches sich mathematisch durch die Gleichung ${\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}$ beschreiben lässt, wobei Kraft- und Beschleunigungsvektor in die gleiche Richtung zeigen. Auch wenn der Kraftbegriff und die Newtonschen Axiome bereits in der Sekundarstufe I behandelt werden, eignen sich die vorgestellen Mechanikversuche, mit Fokus auf eine intensive Auswertung der erfassten Messwerte sowie ihrer Unsicherheiten, auch für den Unterricht in der Sekundarstufe II. Die Komplexität der Aufbauten, sowie die Dauer einer einzelne Messung sind zudem recht gering. Dies birgt den Vorteil, dass die Versuche auch ohne weiteres von Schülergruppen durchgeführt werden könnten.

Didaktischer Teil

Schülerinnen und Schüler mit den Arbeitsweisen der Physik als Naturwissenschaft vertraut zu machen, ist mittlerweile ein wesentlicher Bestandteil der Erkenntnisgewinnung im Schulfach Physik. Dazu gehört unter anderem die Aneignung und der Einsatz von experimentellen Fähigkeiten. Diese gliedern sich nach dem Rahmenlehrplan für Berlin der Sekundarstufe II (2006) in die folgenden Teilabschnitte: Planung, Durchführung und Dokumentation, sowie Auswertung und Fehlerbetrachtung (vgl. Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (2006), S. 15).

Obwohl sich mit den hier dargestellten Versuchen die Gültigkeit des 2. Newtonschen Axioms scheinbar zeigen lässt, so kann es dadurch nicht bewiesen werden. Zur Bestimmung der Eingangsgrößen wird dieses nämlich bereits vorausgesetzt (vgl. Kuhn (Hrsg.) (2006), S. 67f). Die Zugkraft beispielsweise, welche im ersten Versuch durch die fallenden Schlitzgewichte entlang der Schnur wirkt und damit den Wagen beschleunigt, wird über das Kraftgesetz ( ${\vec {F}}_{Z}=m\cdot {\vec {g}}$ ) bestimmt.

Die physikalischen Zusammenhänge sind den Schülerinnen und Schülern bereits aus der Sekundarstufe I bekannt (vgl. Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (2016), S. 32, S. 42). Die Versuchsaufbauten sind zudem in ihrer Komplexität recht übersichtlich. Sie eignen sich daher gut, um sowohl das Prinzip der Variablenkontrolle als auch den Umgang mit Messunsicherheiten in Schülergruppenexperimenten zu vertiefen.

Dass die explizite Thematisierung von Messunsicherheiten im Unterricht wichtig ist, um die Grundlage für eine evidenzbasierte Handlungskompetenz der Schülerinnen und Schüler zu schaffen, zeigte sich beispielsweise auch in einer Studie in Großbritannien von Lubben und Millar (vgl. Lubben, F., Millar, F. 1996). Auch wenn sich eine altersabhängige Steigerung des Verständnisses von Messunsicherheiten feststellen ließ, so gab es auch unter den 11-jährigen Schülerinnen und Schülern noch Probanden mit eher geringem Verständnis von Messunsicherheiten.

Der konkreten und wiederholten Thematisierung von Messunsicherheiten im Unterricht sollte daher eine hohe Priorität eingeräumt werden. Nur dadurch kann sichergestellt werden, dass möglichst viele Schülerinnen und Schüler innerhalb ihrer Schulzeit die Kompetenz im korrekten Umgang mit Messunsicherheiten erwerben sowie das Verständnis für die Wichtigkeit der Thematik entwickeln können.

Die Thematisierung von Messunsicherheiten bei einem physikalisch bereits bekannten Thema sowie einem relativ einfachen Messaufbau ist insofern sinnvoll, als dass die Schülerinnen und Schüler nicht bereits an Schwierigkeiten des korrekten Beobachtens scheitern. Wie wichtig die korrekte Beobachtung in Bezug auf die Interpretation von Messdaten sein kann, zeigt sich beispielweise in einer Studie von Chinn und Malthotra aus den USA (vgl. Chinn, C. A., Malhotra, B. A. 2002). In dieser Studie konnten sie unter anderem feststellen, dass bei den dort untersuchten Viert- bis Sechstklässlern die Interpretation der Primärdaten häufig mit der Beobachtung einherging, unabhängig davon, ob die Beobachtung physikalisch korrekt war.

Um die Schülerinnen und Schüler mit Fokus auf den Umgang mit Messunsicherheiten zu unterrichten, sollte daher darauf geachtet werden, dass die Versuchsaufbauten unkompliziert genug sind, um eine physikalisch korrekte Beobachtung zu gewährleisten. Ein weiterer Versuch der Mechanik, in dem Messunsicherheiten an einem relativ einfachen Messaufbau thematisiert werden können, ist beispielsweise Bestimmung der Federkonstante mittels Kraftmesser.

Versuchsanleitung 1: Fahrbahn mit fallender Masse

Aufbau

Abb.1: Aufbau der Fahrbahn mit fallender Masse

• Fahrbahn (PHYWE) - 80 cm
• Mess- und Experimentierwagen (PHYWE) - 50g - Artikel-Nr.: 11060-00
• Gewichtsteller für Schlitzgewichte (PHYWE) - 10g - Artikel-Nr.: 02204-00
• Schlitzgewichte (PHYWE) - 10g - Artikel-Nr.: 02205-01
• Schlitzgewichte (PHYWE) - 50g - Artikel-Nr.: 02206-01
• Stativmaterial
• Umlenkrollen - 2x
• Schnur
• Gummistopfen (groß) - 2x

Die Fahrbahn wird eben auf dem Versuchstisch positioniert. Am Ende der Fahrbahn wird mit Stativmaterial und Gummistopfen ein Puffer gebaut, von dem der Mess- und Experimentierwagen abgebremst wird. Über zwei Umlenkrollen wird eine dünne, reißfeste Schnur mit möglichst geringer Reibung geführt. An einem Ende der Schnur ist der Wagen befestigt, am anderen Ende wird der Gewichtsteller für Schlitzgewichte angebracht. Die Länge der Schnur ist dabei so zu wählen, dass beim Aufprall des Wagens auf die Gummistopfen der Gewichtsteller nicht auf dem Boden aufschlägt (vgl. Abb.1).

Durchführung

Der an der Schnur befestigte Wagen wird in einem Abstand von 65 cm zu den Gummistopfen auf die Fahrbahn gestellt und festgehalten. Anschließend wird der Wagen losgelassen und durch die Gewichtskraft der fallenden Masse beschleunigt. Die Dauer des Vorgangs vom Losfahren bis zum Aufprall wird mithilfe einer Stoppuhr erfasst. Die Gesamtmasse m_ges des gekoppelten Systems (Wagen (m_W) + fallende Masse (m_F)) wird bei der ersten Messreihe konstant gehalten (m_ges = 0,15kg). Die Verteilung der Massen wird variiert. Effektiv wird dadurch die Zugkraft größer, während die Gesamtmasse des Systems sich nicht verändert. Über die Messung der Zeit kann mithilfe des Weg-Zeit-Gesetzes der Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Zugkraft untersucht werden. Gestartet wird die Messreihe mit einer fallenden Masse von m_F = 0,01kg und einer Wagenmasse von m_W = 0,14kg.

Bei der zweiten Messreihe bleibt die fallende Masse konstant m_F = 0,01kg. Die Wagenmasse (und damit auch die Gesamtmasse) wird, beginnend bei m_W = 0,05kg, schrittweise erhöht. Zur Messung wird ein Stoppuhrprogramm am Laptop verwendet, welches durch betätigen der Leertaste ausgelöst werden kann.

Ergebnisse

Bei konstanter Gesamtmasse des Systems (Wagen + fallende Masse) wurden für unterschiedliche Massenverteilungen auf Wagen und Gewichtsteller jeweils 6 Messwerte für das Zeitintervall, vom Losfahren des Wagens bis zum Aufprall, aufgenommen. Aus diesen wurde der arithmetische Mittelwert gebildet (vgl. Tab. 1).

Tab. 1: Messung bei konstanter Gesamtmasse (0,15kg)

Fallmasse mF [kg]	Wagenmasse mW [kg]	Messzeit t1 [s]	Messzeit t2 [s]	Messzeit t3 [s]	Messzeit t4 [s]	Messzeit t5 [s]	Messzeit t6 [s]	Zeit (Mittelwert) tm [s]
0,010	0,140	1,79	1,76	1,71	1,75	1,77	1,74	1,75
0,015	0,135	1,29	1,36	1,26	1,30	1,27	1,28	1,29
0,020	0,130	1,09	1,08	1,06	1,09	1,07	1,10	1,08
0,025	0,125	0,95	0,95	0,92	0,94	0,93	0,96	0,94
0,030	0,120	0,87	0,76	0,78	0,77	0,80	0,78	0,79

Die Versuchsreihe wurde mit einer konstanter Fallmasse unter Änderung der Wagen- & Gesamtmasse wiederholt. Aus den aufgenommenen Messzeiten wurde wieder der arithmetische Mittelwert gebildet (vgl. Tab. 2).

Tab. 2: Messung bei konstanter Fallmasse (0,01kg)

Wagenmasse mW [kg]	Gesamtmasse mGes [kg]	Messzeit t1 [s]	Messzeit t2 [s]	Messzeit t3 [s]	Messzeit t4 [s]	Messzeit t5 [s]	Messzeit t6 [s]	mittlere Zeit tm [s]
0,050	0,060	1,20	1,09	1,09	1,20	1,09	1,09	1,13
0,075	0,085	1,31	1,31	1,31	1,31	1,20	1,31	1,29
0,100	0,110	1,64	1,53	1,53	1,64	1,53	1,64	1,59
0,125	0,135	1,64	1,75	1,86	1,75	1,64	1,75	1,73
0,030	0,120	2,08	2,08	1,97	1,97	2,08	2,08	2,04

Auswertung

Da sich mit dem gegebenen Aufbau die Beschleunigung nicht direkt messen lässt, muss diese indirekt mithilfe des Weg-Zeit-Gesetzes ermittelt werden:

${\vec {s}}(t)={\frac {\vec {a}}{2}}t^{2}+{\vec {v}}_{0}t+{\vec {s}}_{0}$

Da die Startstrecke ${\vec {s}}_{0}$ sowie die Anfangsgeschwindigkeit ${\vec {v}}_{0}$ null sind, vereinfacht sich die Gleichung zu:

${\vec {s}}(t)={\frac {\vec {a}}{2}}t^{2}$

Zudem wird der Wagen entlang des Weges beschleunigt, daher kann hier auf die Vektoren verzichtet werden:

$s(t)={\frac {a}{2}}t^{2}$

Durch Umformung erhält man den Zusammenhang zwischen den gemessenen Zeiten und der Beschleunigung als:

$a={\frac {2s(t)}{t^{2}}}$

Da es sich um eine reale Messung handelt, lässt sich für jeden Zeitmittelwert die empirische Standardabweichung bestimmen. Diese berechnet sich nach folgender Formel:

$s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}$

Bei der ersten Messreihe wurde eine digitale Handstoppuhr zur Ermittlung der Zeit verwendet. Als systematische Messabweichung wurde die letzte Stelle der verwendeten Stoppuhr angenommen ( e_S=0,01s).

Die Messunsicherheit einer Größe ergibt sich aus der systematischen und zufälligen (statistischen) Messabweichung, wie folgt:

$u_{t}={\sqrt {{e_{S}}^{2}+{e_{Z}}^{2}}}$ .

In der folgenden Tabelle wurden die Werte der Messabweichungen und Messunsicherheiten für die gemittelten Zeiten zusammengefasst (vgl. Tab 3).

Tab. 3: Messabweichungen/-unsicherheit der Zeit bei konstanter Gesamtmasse (0,15kg)

Zeit (Mittelwert) tm [s]	Systematische Messabweichung eS [s]	Zufällige Messabweichung eZ [s]	Messunsicherheit ut [s]
1,75	0,01	0,03	0,03
1,29	0,01	0,04	0,04
1,08	0,01	0,01	0,01
0,94	0,01	0,01	0,01
0,79	0,01	0,04	0,04

Abb.2: Abhängigkeit der Beschleunigung von der Zugkraft bei konstanter Gesamtmasse des Systems

Die Unsicherheit für die Beschleunigung ergibt sich indirekt mittels Gaußscher Fehlerfortpflanzung aus den Unsicherheiten der Größen t und s:

${u_{a}}={\sqrt {\left({\frac {\partial a}{\partial s}}\cdot u_{s}\right)^{2}+\left({\frac {\partial a}{\partial t}}\cdot u_{t}\right)^{2}}}$

Für die zurückgelegte Strecke s wurde dabei mit einer Unsicherheit von u_s = 0,005m gerechnet.

Beim Auftragen der Beschleunigung über der Zugkraft, die in diesem Fall der Gewichtskraft der fallenden Masse entspricht, ergibt sich ein linearer Zusammenhang ($F\sim a$) (vgl. Abb. 2).

Da bei der zweiten Messreihe (mit konstanter Fallmasse) die Stoppuhr am Laptop benutzt wurde, gibt es hier eine andere systematische Messabweichung als bei der Nutzung der Hand-Stoppuhr. Das kleinste Zeitintervall, welches sich mit der Stoppuhr am Laptop messen ließ, waren 0,11 Sekunden, daraus ergibt sich e_S=0,11s.

Die zufälligen Messabweichungen und die Messunsicherheiten der Zeit werden wie im ersten Teilversuch bestimmt. (vgl. Tab. 4)

Tab. 4: Messabweichungen/-unsicherheit der Zeit bei konstanter Fallmasse (0,01kg)

Zeit (Mittelwert) tm [s]	Systematische Messabweichung eS [s]	Zufällige Messabweichung eZ [s]	Messunsicherheit ut [s]
1,13	0,11	0,06	0,13
1,29	0,11	0,04	0,12
1,58	0,11	0,06	0,13
1,73	0,11	0,08	0,14
2,04	0,11	0,06	0,13

Abb. 3: Abhängigkeit der Beschleunigung von der reziproken Masse bei konstanter Zugkraft

Da beim zweiten Teilversuch die Zugkraft konstant gehalten wurde, wird hier der Zusammenhang zwischen der Beschleunigung und der Masse untersucht. Ein proportionaler Zusammenhang ergibt sich für die Auftragung der Beschleunigung über der reziproken Masse. (vgl. Abb. 3)

$a\sim {\frac {1}{m}}$

Aus beiden Teilexperimenten lässt sich die Schlussfolgerung ziehen, dass die Zugkraft proportional zum Produkt aus beschleunigter Masse und Beschleunigung ist.

$F\sim {\frac {a}{m}}$

Dass der Zusammenhang von Beschleunigung und reziproker Masse (Abb. 3) durch die Masse nicht genau die Zugkraft liefert, lässt sich leicht begründen, da die Reibungskraft auf der Bahn der Zugkraft entgegenwirkt. Zusätzliche Reibung entsteht durch die Umlenkrollen. Die Abweichung der resultierenden Kraft von der Zugkraft beträgt rund 29%. Bessere Ergebnisse lassen sich beispielsweise mit Luftkissenbahnen erreichen (siehe Quantitative Überprüfung des zweiten Newtonschen Axioms, Newtonsche Bewegungsgleichung). Die Komplexität der Aufbauten ist jedoch höher, sodass sie als Schülerexperimente oft nicht mehr in Frage kommen. Für die Behandlung von Messunsicherheiten im Schulunterricht sind die hier vorgestellten Fahrbahnversuche jedoch ausreichend, sofern man die Reibung innerhalb der Fehlerbetrachtung thematisiert.

Sicherheitshinweise

• Die fallende Masse sollte nicht zu groß gewählt werden, da durch einen zu starken Aufprall der Wagen beschädigt werden könnte. Ist der Wagen im Verhältnis zur fallenden Masse zu leicht, kann er nach dem Aufprall von der Fahrbahn gehoben werden. Dadurch könnte die Schnur aus der Führung der Umlenkrollen rutschen, sodass die angehängten Schlitzgewichte auf den Boden fallen. Dies sollte dringend vermieden werden.

Versuchsanleitung 2: Fahrbahn mit Fan Cart

Aufbau

Abb. 4: Aufbau der Fahrbahn mit Fan Cart

• Rollbahn (PASCO Scientific) ~ 230 cm
• ME-9485 Fan Cart (PASCO Scientific) - 570g
• Einstellbarer Endanschlag für Rollbahn (PASCO Scientific)
• Schlitzgewichte (PHYWE) - 10g - Artikel-Nr.: 02205-01
• Schlitzgewichte (PHYWE) - 50g - Artikel-Nr.: 02206-01
• Hakengewicht 500g

Die Fahrbahn wird eben auf dem Versuchstisch positioniert. Der Endanschlag wird im Abstand von l=50cm von der Startposition des Fan Carts entfernt an die Rollbahn geschraubt. (vgl. Abb.4).

Durchführung

Das Fan Cart wird in einem Abstand von l=50cm zur Fahrbahnbegrenzung auf die Fahrbahn gestellt. Mithilfe des Schalters kann der Antrieb des Fan Carts in zwei unterschiedlichen Stufen aktiviert werden (low - high). Es ist die Schalterstellung für die geringere Antriebskraft (low - F_A=0,3N) zu wählen. Das Umlegen des Schalters erfolgt zeitgleich mit dem Start der Stoppuhr am Laptop. Die Zeit wird beim Aufprall des Fan Carts auf die Fahrbahnbegrenzung gestoppt. Die Masse des Fan Carts wird für die nachfolgenden Messungen durch das Aufsetzen von Schlitzgewichten auf die Magnetfläche erhöht.

Ergebnisse

Bei konstanter Antriebskraft des Fan Carts wurden jeweils 6 Messwerte für das Zeitintervall vom Losfahren des Fan Carts bis zum Aufprall aufgenommen. Aus diesen Werten wurde der arithmetische Mittelwert gebildet (vgl. Tab. 5).

Tab. 5: Messung bei konstanter Antriebskraft (0,3 N)

Wagenmasse mW [kg]	Messzeit t1 [s]	Messzeit t2 [s]	Messzeit t3 [s]	Messzeit t4 [s]	Messzeit t5 [s]	Messzeit t6 [s]	mittlere Zeit tm [s]
0,57	1,53	1,53	1,53	1,42	1,53	1,64	1,53
0,62	1,64	1,53	1,64	1,64	1,53	1,64	1,60
0,67	1,64	1,75	1,64	1,75	1,64	1,64	1,68
0,72	1,75	1,75	1,64	1,75	1,75	1,86	1,75
0,77	1,86	1,75	1,86	1,75	1,86	1,86	1,82
1,14	2,41	2,41	2,30	2,41	2,41	2,30	2,19
1,57	3,28	3,17	3,28	3,17	3,28	3,28	3,24

Auswertung

Die Bestimmung der Messabweichungen und Messunsicherheiten für die gemittelten Fahrtzeiten des Fan Carts erfolgten analog zu denen in Versuchsanleitung 1. Sie sind in der folgenden Tabelle aufgeführt (vgl. Tab 6).

Tab. 6: Messabweichungen/-unsicherheit der Zeit bei konstanter Antriebskraft (0,3N)

Zeit (Mittelwert) tm [s]	Systematische Messabweichung eS [s]	Zufällige Messabweichung eZ [s]	Messunsicherheit ut [s]
1,53	0,11	0,07	0,13
1,60	0,11	0,06	0,12
1,68	0,11	0,06	0,13
1,75	0,11	0,07	0,14
1,82	0,11	0,06	0,13
2,34	0,11	0,09	0,13
3,24	0,11	0,06	0,13

Abb.5: Abhängigkeit der Beschleunigung von der reziproken Masse bei konstanter Antriebskraft

Auch hier lässt sich durch die Auftragung der Beschleunigung über der reziproken Masse ein proportionaler Zusammenhang finden (vgl. Abb. 5).

Die Steigung des linearen Fits an die Messwerte liefert zudem mit einer Abweichung von rund 3% vom Sollwert eine deutlich bessere Übereinstimmung mit der Antriebskraft als der Versuch mit der fallenden Masse. Dies liegt, neben der zusätzlichen Reibung durch die Umlenkrollen bei Versuch 1, unter anderem auch an der hier größeren Antriebskraft.

Sicherheitshinweise

• Bei einer Antriebskraft des Fan Cart von 0,3 N sollte die Fahrstrecke des Wagens nicht viel länger als 50 cm sein, da der Aufprall andernfalls den Wagen oder die Fahrbahnbegrenzung beschädigen könnte. Um Messungen auf längeren Fahrstrecken durchführen zu können, müsste der einstellbare Endanschlag durch einen Puffer erweitert werden.
• Die auf das Fan Cart aufgelegten Schlitzgewichte dürfen nicht zu nah am Propeller angebracht werden, da sie sonst beim Aufprall aufgrund ihrer Trägheit in den Propeller rutschen und diesen beschädigen würden.

Siehe auch

Quantitative Überprüfung des zweiten Newtonschen Axioms
Newtonsche Bewegungsgleichung